モンティ・ホール問題

モンティ・ホール・パズルの説明

モンティ・ホール・パズルは、モンティ・ホールが司会を務めたアメリカのテレビ番組"Let's make a deal"から名前を取っています。この番組では、参加者が幸運ならば、3つのドアのうちの1つに隠されている賞品を当てるチャンスを与えられます。ゲームは次のように進められます：

• まず3つのドアの1つを選択するように促されます。
• モンティ・ホール（彼は賞品がどこにあるか知っています）が、賞品のないもう1つのドアを開きます。
• 参加者は選択を変えたいかどうか（もう1つの閉じたドアを選択したいか）を訊かれます。
• 選択したドアの後ろに賞品があれば、それを貰えます。

このパズルの問題: 参加者は2回目の選択でどうするべきでしょうか? 何人かの人は、賞品が残りの2つのドアの後ろにありそうな度合いは同じなので、どちらでもよいというかもしれません。しかし、それはまったく真実ではありません。正しい答えは、選択を変えると最も良い確率で賞品を貰えます。1/3ではなく2/3です。 下記では、簡単なベイジアンネットワークを用いて解を計算します。

ベイジアンネットワークを用いた解の発見

モンティ・ホール・パズルは、3つの確率変数でモデルできます: Prize（賞品が当たる）, First Selection（最初の選択）, およびMonty Opens（モンティ・ホールが開く）。

• Prize は、賞品が隠されているドアに関する情報を表現します。つまり、3つのステートを持ちます: "Door 1", "Door 2", および "Door 3".
• First Selectionは、最初の選択を表します。この変数も3つのステートを持ちます: "Door 1", "Door 2", および "Door 3".
• Monty Opens は、最初の選択の後のモンティ・ホールのドアの選択を表します。これも3つのステートがあります: "Door 1", "Door 2", および "Door 3".

モンティ・ホールは賞品が隠されているドアを知っていて、したがって、Prize は、Monty Opensに影響を持ちます。モンティは、最初に選択されたドアを開くことはありませんので、Monty Opensに影響を持ちます。図1に示すネットワークが出来上がります。

Prize の条件付き確率表が表1に示されます（賞品がどこに隠されているかを知らないことを示します）。

First SelectionのCPTが表 2に示されます（ネットワークを使用するときに、いつもこの変数の特定のステートを選択するので、この表の確率は重要ではありません）。

表 3 は、Monty OpensのCPTを示します。この表は、賞品がDoor 1に隠されていて、参加者がDoor 3を選ぶと、モンティ・ホールが当然 Door 2を開くことを言明します。それしか彼が開けるドアはありません。もし最初の選択で正しいドアを選択すると、彼は2つのドアの1つを無作為に選びます。

表 1, 2, 3のCPTを持つ図1のネットワークが、Hugin Graphical User Interfaceでとても簡単に構築できます。コンパイルすると、図2のようなHugin Graphical User Interfaceのﾉｰﾄﾞ・リスト・パネルが現れます。図2は最初の選択をして、モンティがドアを開くことのできるインタラクティブなJavaアプレットです。この後、Prizeの確率から解が現れます。 このアプレットの機能は、Hugin Graphical User Interfaceの機能ととてもよく似ています。

図2 は、モンティがドアを開いた後に選択を変えることが、いつでも最善であることを示します（賞品を貰える確率 66.67% です）。

これが真実であることを納得する簡単な方法は、次のようになります: 最初、正しいドアを選ぶ確率は33.33% で、それ以外のどこかに賞品がある確率は66.67%です。モンティは空のドアを開けることが分かっていて、それはあなたのドアが正しいというあなたの信念について何も変えません。あなたはまだ正しいドアを選択する確率が 33.33% です。したがって、賞品がそれ以外のどこか（最後のドア）にある確率は 66.67% でなければなりません。