Monty Hall Puzzle

By: Hugin Expert

モンティ・ホールの例では、モンティ・ホール・パズルを解くための小規模なベイジアン・ネットワークの使用を示します。

モンティ・ホール・パズルの説明

モンティ･ホール・パズルはその名をMonty Hallがホストを務めたアメリカのTVゲームショウ"Let's make a deal"からとっている。このショウでは、3つのドアのうちの1つに賞品があって、もし幸運なら、その賞品を勝ち取ることができる。そのゲームは以下のように進められる:

• 3つのドアのうち1つを選ぶように求められる
• Monty Hall (賞品がどこにあるのかは知っている)が賞品の入っていない別のドアを開ける
• 選択をもう一度行いたいか聞かれる (2つの閉じられたドアのうち1つを選ぶ)
• 選んだドアの後ろに賞品があれば、それを手に入れる

.問題は、2回目の選択で何をすべきか、である。残された2つドアの後ろに賞品がある確率は等しいので問題ないというものもいた。しかしこれはあまり真実とはいえない。正解は、選択をしなおせば勝つチャンスがあがる-1/3が2/3になる。次の節で、単純なベイジアン･ネットワーク(BN)を用いてその解が計算される。　

BNを用いた解の発見

モンティ・ホール・パズルは、3つの確率変数: Prize, First Selection, Monty Opensでモデル化される。

• Prizeは、賞品があるドアについての情報を表現している。これは、3つのステート "Door 1"、 "Door 2"、"Door 3"を持つことを意味する
• First Selectionは、最初の選択を表現している。この変数もまた、3つのステート"Door 1"、 "Door 2"、"Door 3"を持つ。
• Monty Opens は、最初の選択をしたとき、Monty Hallsが選択したドアを示している。また3つのステート"Door 1"、 "Door 2"、"Door 3"を持つ。

賞品のあるドアはMontyにはわかっていおり、このようにPrizeはMonty Opensに影響力がある。Montyは決して最初の選択のドアを開けることはない、だからFirst SelectionもMonty Opensに影響力がある。これにより、図 1に示すBNを得る。

図 1: モンティ・ホール・パズルのBN

.因果矢印はPrizeとFirst Selectionの両方ががMonty Opensに影響があることを示している。

.Prizeの条件付き確率表(CPT)を表 1に示す。

First SelectionのCPTは、表 2に示す（BNを使用する際、常にこの変数の特定のステートを選ぶので、この表はあまり重要ではない）。

表 3にMonty OpensのCPTを示す。この表は、もし賞品がdoor 1の後ろにありdoor 3を選んでいたとすると、そのときdoor 2が賞品がなく、Montyが開けることのできる唯一の可能性を持つドアであるので、彼はそれを開けることを示している。もし最初の選択で正しいドアを開けていれば、彼は残ったドアのうちから1つをランダムに選ぶ。

表 1、 2、 3のCPTを持つノードがある図 1に示されたBNは10分以内でHugin GUIに構築される。正しくコンパイルした後、Hugin GUIのノード・リスト・パネル図 2のように見えている。

このネットワークはHuginソフトウェアと一緒にコンピュータにインストールされています。Huginでこのネットワークを開いてください。このネットワークは、Huginのインストールの. Samples サブディレクトリにあります。

ネットワークをテストすると、Montyがドアを開けたとき、選択をやり直したほうがいつもよいことがわかる(勝つ確率が66.67%)。

.これが真実であると確信するために、次のような簡単な方法がある：最初正しいドアを選択する確率は33.33%で、賞品がどこか他のところにある確率は66.67%である。Montyが開けたとき、このことよってあなたのドアが正しいという信念について変化があるべきではないので、空のドアをあける。正しいドアを選択する確率はまだ33.33%である。こしたがって、賞品が他に（最後のドアの後ろ）にある確率は66.67%ある。